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如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,頂點M關于x軸的對稱點是M′.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C,求△CAB的面積;

(3)是否存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.


 解:(1)將A、B點坐標代入函數解析式,得,

解得,

拋物線的解析式y=x2﹣2x﹣3;

(2)將拋物線的解析式化為頂點式,得

y=(x﹣1)2﹣4,

M點的坐標為(1,﹣4),

M′點的坐標為(1,4),

設AM′的解析式為y=kx+b,

將A、M′點的坐標代入,得

,

解得,

AM′的解析式為y=2x+2,

聯立AM′與拋物線,得

,

解得,

C點坐標為(5,12).

SABC=×4×12=24;

(3)存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形,

由ABPQ是正方形,A(﹣1,0)B(3,0),得

P(1,﹣2),Q(1,2),或P(1,2),Q(1,﹣2),

①當頂點P(1,﹣2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,

將A點坐標代入函數解析式,得

a(﹣1﹣1)2﹣2=0,

解得a=,

拋物線的解析式為y=(x﹣1)2﹣2,

②當P(1,2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2,將

A點坐標代入函數解析式,得

a(﹣1﹣1)2+2=0,

解得a=﹣,

拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+2,

綜上所述:y=(x﹣1)2﹣2或y=﹣(x﹣1)2+2,使得四邊形APBQ為正方形.


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