如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,頂點M關于x軸的對稱點是M′.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C,求△CAB的面積;
(3)是否存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
解:(1)將A、B點坐標代入函數解析式,得,
解得,
拋物線的解析式y=x2﹣2x﹣3;
(2)將拋物線的解析式化為頂點式,得
y=(x﹣1)2﹣4,
M點的坐標為(1,﹣4),
M′點的坐標為(1,4),
設AM′的解析式為y=kx+b,
將A、M′點的坐標代入,得
,
解得,
AM′的解析式為y=2x+2,
聯立AM′與拋物線,得
,
解得,
C點坐標為(5,12).
S△ABC=×4×12=24;
(3)存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形,
由ABPQ是正方形,A(﹣1,0)B(3,0),得
P(1,﹣2),Q(1,2),或P(1,2),Q(1,﹣2),
①當頂點P(1,﹣2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,
將A點坐標代入函數解析式,得
a(﹣1﹣1)2﹣2=0,
解得a=,
拋物線的解析式為y=(x﹣1)2﹣2,
②當P(1,2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2,將
A點坐標代入函數解析式,得
a(﹣1﹣1)2+2=0,
解得a=﹣,
拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+2,
綜上所述:y=(x﹣1)2﹣2或y=﹣
(x﹣1)2+2,使得四邊形APBQ為正方形.
科目:初中數學 來源: 題型:
如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿A→D→C運動,點P從點A出發(fā)的同時點Q從點C出發(fā),以1cm/s的速度向點B運動,當點P到達點C時,點Q也停止運動.設點P,Q運動的時間為t秒.
(1)從運動開始,當t取何值時,PQ∥CD?
(2)從運動開始,當t取何值時,△PQC為直角三角形?
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科目:初中數學 來源: 題型:
下列說法不正確的是( )
A.圓錐的俯視圖是圓
B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
C.任意一個等腰三角形是鈍角三角形
D.周長相等的正方形、長方形、圓,這三個幾何圖形中,圓面積最大
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科目:初中數學 來源: 題型:
為了解某種電動汽車的性能,對這種電動汽車進行了抽檢,將一次充電后行駛的里程數分為A,B,C,D四個等級,其中相應等級的里程依次為200千米,210千米,220千米,230千米,獲得如下不完整的統計圖。
根據以上信息,解答下列問題:
(1)問這次被抽檢的電動汽車共有幾輛?并補全條形統計圖;
(2)估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數為多少千米?
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