Question

已知△ABC中，∠B=45°，AB=，tanC=2，⊙O過點A、C，交BC邊于點D．且，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：如圖，連接AC，延長AO交BC于點E．根據圓心角、弧、弦間的關系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性質證得AE是CD的中垂線．在直角△AEC中根據勾股定理求得線段CE的長度，進而根據垂徑定理來求線段CD的長度．
解答：解：如圖，連接AC，延長AO交BC于點E．
∵，
∴AD=AC，
∵點O是等腰△ACD的外心，
∴AE⊥CD，且CD=2CE．
∴在直角△ABE中，∠B=45°，AB=，則AE=4．
∵tanC=2，
∴=2，即AE=2CE，
∴CD=AE=4，即線段CD的長度是4．
點評：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、解直角三角形以及圓心角、弧、弦間的關系．注意解題過程中要證明一下AE是線段CD的中垂線．