Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx經過A（2，4），B（4，0）兩點，點P為x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線y=x于點C，設點P的橫坐標為m．
（1）求拋物線的表達式；
（2）當PC=$\frac{1}{2}$CD時，求m的值；
（3）以PC為邊向右側作正方形PCEF，是否存在點P，使點E，F中有一個落在直線AB上？若存在，請直接寫出相應的點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求拋物線的表達式；
（2）利用拋物線的解析式表示點P的坐標為：P（m，-m²+4m），
當C在P的下方時，如圖1，由PD=PC+CD列式可得結論；
當C在P的上方時，如圖3，由則PC=CD-PD=$\frac{1}{2}$CD列式可得結論；
（3）分兩種情況：點E和F分別落在直線AB上時，
①如圖1，點F在直線AB上，表示出點F的坐標，代入直線AB的解析式即可求出m的值；
②如圖2，點E在直線AB上，表示出點E的坐標，代入直線AB的解析式即可求出m的值．

解答 解：（1）把A（2，4），B（4，0）代入y=ax²+bx得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達式為：y=-x²+4x；
（2）由題意得：P（m，-m²+4m），
∴PD=-m²+4m，
∵C在直線y=x上，PD⊥x軸，
∴CD=OD=m，
∵PC=$\frac{1}{2}$CD，
當C在P的下方時，如圖1，由PD=PC+CD得：-m²+4m=$\frac{3}{2}$m，
m₁=0（舍），m₂=$\frac{5}{2}$；
當C在P的上方時，如圖3，則PC=CD-PD=$\frac{1}{2}$CD，
m-（-m²+4m）=$\frac{1}{2}$m，
m=$\frac{7}{2}$，
綜上所述，m的值是$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$；
（3）①如圖1，點F在直線AB上，
PC=-m²+4m-m=-m²+3m，
∵四邊形PDEF是正方形，
∴PF=PC=-m²+3m，
∴F的橫坐標為：-m²+3m+m=-m²+4m，
∵F在直線y=x上，
∴F（-m²+4m，-m²+4m），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（2，4），B（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-2x+8，
則-m²+4m=-2（-m²+4m）+8，
-3m²+12m-8=0，
3m²-12m+8=0，
m₁=$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$（舍），m₂=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$；
②如圖2，點E在直線AB上，
∵C（m，m），PC=-m²+3m，
∴E（-m²+4m，m），
則m=-2（-m²+4m）+8，
m₁=$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$（舍），m₂=$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$；
綜上所述，點P的橫坐標為$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．

點評 本題是二次函數的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，根據已知條件，利用坐標與圖形特點表示線段的長，代入等量關系式中列方程即可解決問題．