如圖,已知:C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn),CH⊥AB于點(diǎn)H,直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D,E為CH中點(diǎn),連接AE并延長交BD于點(diǎn)F,直線CF交直線AB于點(diǎn)G.
(1)求證:點(diǎn)F是BD中點(diǎn);
(2)求證:CG是⊙O的切線;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)易得△AEH∽△AFB,△ACE∽△ADF;進(jìn)而可得比例關(guān)系式,再根據(jù)其中的相等關(guān)系可得BF=FD,即點(diǎn)F是BD中點(diǎn);
(2)連接CB、OC,根據(jù)角的關(guān)系易得∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO,進(jìn)而可得∠OCF=90°,故可得CG是⊙O的切線;
(3)根據(jù)切割線定理可得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2,解之即可的答案.
解答:(1)證明:∵CH⊥AB,DB⊥AB,
∴△AEH∽△AFB,△ACE∽△ADF;(1分)

∵HE=EC,
∴BF=FD,即點(diǎn)F是BD中點(diǎn).

(2)證明:連接CB、OC;
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°.
∵F是BD中點(diǎn),
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO.
∴∠OCF=90°,
又∵OC為圓O半徑,
∴CG是⊙O的切線.(6分)

(3)解:∵FC=FB=FE,
∴∠FCE=∠FEC.(7分)
∵∠FEC=∠AEH,
∴∠FCE=∠AEH,
∵∠G+∠FCE=90°,∠FAB+∠AEH=90°,
∴∠G=∠FAB,
∴FA=FG,
∵FB⊥AG,
∴AB=BG.(8分)
∵(2+FG)2=BG×AG=2BG2
∵BG2=FG2-BF2
由①、②得:FG2-4FG-12=0
∴FG1=6,F(xiàn)G2=-2(舍去)
∴AB=BG=
∴⊙O半徑為2.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查切線的判定,線段等分關(guān)系的證明及線段長度的求法,要求學(xué)生掌握常見的解題方法,并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)B是AN的中點(diǎn),點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn),若⊙O的半徑為1,則AP+BP的最小值為
 

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如圖,已知:C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn),CH⊥AB于點(diǎn)H,直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)D,E為CH的中點(diǎn),連接AE并延長交BD于F,直線CF交直線AB于點(diǎn)G.
(1)求證:點(diǎn)F是BD的中點(diǎn);
(2)求證:CG是⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•德陽)如圖,已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn),CH⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為CH的中點(diǎn),連接AE并延長交BD于點(diǎn)F,直線CF交AB的延長線于G.
(1)求證:AE•FD=AF•EC;
(2)求證:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑r的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知:C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn),CH⊥AB于點(diǎn)H,直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D,E為CH中點(diǎn),連接AE并延長交BD于點(diǎn)F,直線CF交直線AB于點(diǎn)G.
(1)求證:①點(diǎn)F是BD中點(diǎn);②CG是⊙O的切線;
(2)若FB=FE=2,求⊙O的半徑.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)B是
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的中點(diǎn),點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn).若⊙O的半徑為l,則AP+BP的最小值為( �。�
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