Question

8．已知關于x的方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有兩不相等的實數(shù)根x₁、x₂
（1）求k的取值范圍；
（2）試說明x₁＜0，x₂＜0；
（3）若拋物線y=x²+（2k+1）x+k²+1與x軸交于A、B兩點，點A、點B到原點的距離分別為OA、OB，且OA+OB=OA•OB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，則判別式大于0，據(jù)此即可列不等式求得k的范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關系，說明兩根的和小于0，且兩根的積大于0即可；
（3）不妨設A（x₁，0），B（x₂，0）．利用x₁，x₂表示出OA、OB的長，則根據(jù)根與系數(shù)的關系，以及OA+OB=OA•OB即可列方程求解．

解答 解：（1）∵方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有兩個不相等實數(shù)根
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）＞0，
∴k＞$\frac{3}{4}$；
（2）∵x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²+1=0的兩個不相等實數(shù)根，且k＞$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=-（2k+1）＜0，
x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
（3）∵x₁＜0，x₂＜0
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=2k+1，
OA•OB=-x₁•（-x₂）=x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
整理得k²+2k=0，
∴k₁=0，k₂=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

點評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點，兩交點的橫坐標就是另y=0，得到的方程的兩根，則滿足一元二次方程的根與系數(shù)的關系．