Question

如圖所示，已知△ABC中，∠ACB=60°，分別以AB、BC、CA為邊向外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF；用“S”表示面積．
（1）求證：△ABF≌△ADC；
（2）求證：S_△ABF=S_△ACF；
（3）試判斷：S_{四邊形ACBD}是否等于S_△BCE與S_△ACF的和？并說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵AF=AC，AD=AB，∠DAC=∠BAC+∠DAB，∠BAF=∠BAC+∠CAF，
而∠DAB=∠CAF=60°
∴∠DAC=∠BAF，
∴△ABF≌△ADC（SAS）；

（2）∵∠ACB=∠CAF=60°，
∴AF∥BC，平行線間垂線段處處相等
∵△ABF與△ACF是同底AF等高的，
∴S_△ABF=S_△ACF；

（3）判定：S_{四邊形ACBD}=S_△BCE+S_△ACF．
作DM⊥BC交BC延長線于點M，作BN⊥EC交EC于點N，
∵△ABF≌△ADC，∴CD=BF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠4=60°，
∴∠3=∠4，而∠DMC=∠BNF=90°，
∴△DMC≌△BNF，∴DM=BN，
∵△BCD與△BCE的底EC、BC相等，高DM=BN，
∴S_△BCD=S_△BCE
∴S_{四邊形ACBD}=S_△BCE+S_△ACF．
分析：（1）根據(jù)角相互間的等量關(guān)系得出∠DAC=∠BAF，通過SAS即可證明△ABF≌△ADC；
（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)結(jié)合圖形可以得出△ABF與△ACF是同為底AF，高是等高的，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S_△ABF=S_△ACF；
（3）由圖知：S_{四邊形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD，而△ABF≌△ADC，∴S_△ACD=S_△ABF=S_△ACF，∴只需證明S_△BCD=S_△BCE即可．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形的面積計算，等底（同底）等高的三角形面積相等．