Question

四邊形ABCD是正方形（提示：正方形四邊相等，四個(gè)角都是90°）

（1）如圖1，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E．
求證：△ABF≌△DAE；（2）直接寫出（1）中，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系

EF=AF-BF

；
（3）①如圖2，若點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E，則圖中全等三角形是

△ABF≌△DAE

，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是

EF=BF-AF

；
②如圖3，若點(diǎn)G是CD延長線上任意一點(diǎn)，連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是

EF=AF+BF

；
（4）若點(diǎn)G是BC延長線上任意一點(diǎn)，連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E，請畫圖、探究線段EF與AF、BF的等量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等得出AE=BF，代入即可求出答案；
（3）①△ABF≌△DAE，EF=BF-AF，證法與（1）（2）類似；②EF=AF+BF，證明過程類似；
（4）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中

∠ADE=∠BAF ∠AED=∠AFB AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）
解：線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是EF=AF-BF，
理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，
∴EF=AF-AE=AF-BF，
故答案為：EF=AF-BF；

（3）①解：△ABF≌△DAE，EF=BF-AF，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中

∠ADE=∠BAF ∠AED=∠AFB AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-AF，
故答案為：△ABF≌△DAE，EF=BF-AF；

②解：EF=AF+BF，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°-90°=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中

∠ADE=∠BAF ∠AED=∠AFB AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE+AF=AF+BF，
故答案為：EF=AF+BF；
（4）解：
與以上證法類似：△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-AF；
即EF=BF-AF．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，證明過程類似．