Question

（2013•湘潭）如圖，在坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=

1

2

x²+bx-2的圖象過C點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：如解答圖所示：
（1）首先構造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點C的坐標；然后利用點C的坐標求出拋物線的解析式；
（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的表達式；根據(jù)S_△CEF=

1

2

S_△ABC，列出方程求出直線l的解析式；
（3）首先作出?PACB，然后證明點P在拋物線上即可．

解答：解：（1）如答圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB與△CDA中，

∠OAB=∠ACD AB=AC ∠OBA=∠CAD

∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵點C（3，1）在拋物線y=

1

2

x²+bx-2上，
∴1=

1

2

×9+3b-2，解得：b=-

1

2

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

1

2

x-2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=

5

．
∴S_△ABC=

1

2

AB²=

5

2

．
設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴

b=2 3k+b=1

，
解得k=-

1

3

，b=2，
∴y=-

1

3

x+2．
同理求得直線AC的解析式為：y=

1

2

x-

1

2

．
如答圖1所示，
設直線l與BC、AC分別交于點E、F，則EF=（-

1

3

x+2）-（

1

2

x-

1

2

）=

5

2

-

5

6

x．
△CEF中，EF邊上的高h=OD-x=3-x．
由題意得：S_△CEF=

1

2

S_△ABC，
即：

1

2

EF•h=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

（

5

2

-

5

6

x）•（3-x）=

1

2

×

5

2

，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-

3

或x=3+

3

（不合題意，舍去），
∴當直線l解析式為x=3-

3

時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．

（3）存在．
如答圖2所示，

過點C作CG⊥y軸于點G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB-OG=1．
過點A作AP∥BC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形．
過點P作PH⊥x軸于點H，
∵BC∥AP，
∴∠CBO=∠AWO，
∵PH∥WO，
∴∠APH=∠AWO，
∴∠CBG=∠APH，
在△PAH和△BCG中，

∠AHP=∠BGC ∠APH=∠CBG AP=BC

∴△PAH≌△BCG（AAS），
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH-OA=2，
∴P（-2，1）．
拋物線解析式為：y=

1

2

x²-

1

2

x-2，當x=-2時，y=1，即點P在拋物線上．
∴存在符合條件的點P，點P的坐標為（-2，1）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點．試題難度不大，但需要仔細分析，認真計算．