Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且cosα=．下列結(jié)論：

①△ADE∽△ACD；

②當(dāng)BD=6時，△ABD與△DCE全等；

③△DCE為直角三角形時，BD為8或；

④0＜CE≤6.4．

其中正確的結(jié)論是 _________ ．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

①②③④

【解析】

試題分析：因為AB=AC，∠ADE=∠B=α，所以∠ADE=∠B=∠C=α，又因為∠DAE=∠DAE，所以△ADE∽△ACD，所以①正確；過點A作AFBC，垂足為F，因為AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，所以BF=CF=8，所以BC=16，因為BD=6，所以DC=10，所以AB=DC，又因為∠ADE+∠DEC =∠B+∠BAD,所以∠DEC =∠BAD,在△ABD與△DCE中，∠DEC =∠BAD，AB=DC，∠B=∠C，所以△ABD≌△DCE（ASA）．所以②正確；當(dāng)△DCE為直角三角形時，分兩種情況，當(dāng)∠AED=90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，所以∠ADC=∠AED，因為∠AED=90°，所以∠ADC=90°，即AD⊥BC，因為AB=AC，所以BD=CD，所以∠ADE=∠B=α且cosα=．AB=10，BD=8；當(dāng)∠CDE=90°時，易得△CDE∽△BAD，因為∠CDE=90°，所以∠BADF=90°，因為∠B=α且cosα=．AB=10，所以cos∠B=，所以BD=．所以③正確；易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，設(shè)BD=y，CE=x，所以，所以，整理得：，即，所以所以④正確．所以①②③④都正確.

考點：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì).