Question

如圖（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在線段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，F(xiàn)N⊥BC．
（1）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)（如圖1），AE與EF相等嗎？
（2）點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在AB上取一點(diǎn)G，使AG=EC，連接GE，利用ASA，易證得：△AGE≌△ECF，則可證得：AE=EP；
（2）同（1）可證明AE=EF，利用AAS證明△ABE≌△ENF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y，然后整理再根據(jù)二次函數(shù)求解最值問(wèn)題．
解答：解：（1）在AB上取一點(diǎn)G，使AG=EC，連接GE．
∴AB-AG=BC-EC，
即BG=BE，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°．
∵CP是外角平分線，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∠BAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）①與（1）同理可證，當(dāng)E不是中點(diǎn)時(shí)，AE=EF，
∴在△ABE和△ENF中，，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴FN=BE=x，
又∵BE=x，BC=4，
∴EC=4-x，
∴y=×（4-x）x，
∴y=-x²+2x （0＜x＜4），
②y=-x²+2x=-（x²-4x）=-（x-2）²+2，
∴當(dāng)x=2，y_最大值=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．