Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－2，－4)，OB＝2，拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試求AM＋OM的最小值；

(3)在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由OB＝2，可知B(2，0) 　　將A(－2，－4)，B(2，0)，O(0，0)三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2＋bx＋c，得 　　 　　解得： 　　∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為． 　　(2)由，可得，拋物線的對(duì)稱軸為直線，且對(duì)稱軸是線段OB的垂直平分線，連結(jié)AB交直線于點(diǎn)M，即為所求． 　　∴MO＝MB，則MO＋MA＝MA＋MB＝AB 　　作AC⊥x軸，垂足為C，則AC＝4，BC＝4，∴AB＝ 　　∴MO＋MA的最小值為． 　　(3)①若OB∥AP，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱， 　　由A(－2，－4)，得P(4，－4)，則得梯形OAPB． 　　②若OA∥BP，設(shè)直線OA的表達(dá)式為，由A(－2，－4)得，． 　　設(shè)直線BP的表達(dá)式為，由B(2，0)得，，即， 　　∴直線BP的表達(dá)式為 　　由，解得，(不合題意，舍去) 　　當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P()，則得梯形OAPB． 　　③若AB∥OP，設(shè)直線AB的表達(dá)式為，則 　　，解得，∴AB的表達(dá)式為． 　　∴直線OP的表達(dá)式為． 　　由，得，解得，(不合題意，舍去)，此時(shí)點(diǎn)P不存在． 　　綜上所述，存在兩點(diǎn)P(4，－4)或P()使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．