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如圖(1),在以AB為直徑的半圓O內(nèi)有一點P,AP、BP的延長線分別交半圓O于點C、D.求證:AP·AC+BP·BD=AB2.
證明:連結(jié)AD、BC,過P作PM⊥AB,則∠ADB=∠AMP=90o,
∴點D、M在以AP為直徑的圓上;同理:M、C在以BP為直徑的圓上.
由割線定理得: AP·AC=AM·AB,BP·BD=BM·BA,
所以,AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·(AM+BM)=AB2.
當點P在半圓周上時,也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立,那么:
(1)如圖(2)當點P在半圓周外時,結(jié)論AP·AC+BP·BD=AB2是否成立?為什么?
(2)如圖(3)當點P在切線BE外側(cè)時,你能得到什么結(jié)論?將你得到的結(jié)論寫出來.
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