Question

【題目】閱讀材料：

基本不等式≤（a＞0，b＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立，它是解決最值問題的有力工具．

例如：在x＞0的條件下，當(dāng)x為何值時(shí)，x+有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0，＞0∴≥，即≥2，∴≥2

當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)，x+有最小值，最小值為2．

請根據(jù)閱讀材料解答下列問題：

（1）已知x＞0，則當(dāng)x為____時(shí)，代數(shù)式3x+的最小值為______；

（2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，則ab的最大值為_____

（3）已知矩形面積為9，求矩形周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）1，6；（2）；（3）12.

【解析】

（1）利用基本不等式即可解決問題；
（2）利用基本不等式變形式即可得解；

（3）設(shè)這個(gè)矩形的長為x米，則寬=面積÷長，即寬=米，則矩形周長為2倍的長+2倍的寬，本題就可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和的問題，從而根據(jù)基本不等式求解．

解：（1）∵x＞0，3x>0，>0，

∴，

即，

當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝1時(shí)，3x+有最小值，最小值為6．

故答案為：1，6；

（2）由基本不等式≤（a＞0，b＞0）得

即 （a＞0，b＞0）

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立，

∵a2+b2=7，

∴

即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號成立，

故答案為：；

（3）設(shè)矩形的長為x米，寬=，矩形的周長為2（），

∵x>0，>0，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即x=3時(shí)，有最小值6，2（）有最小值12

即矩形的周長的最小值為12，此時(shí)長為3，寬也為3.