Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．

（1）求證：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，①求邊CP的長；②求邊AB的長；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①CP＝4；②邊AB的長為10．

【解析】

（1）只需證明兩對對應角分別相等即可證到兩個三角形相似；

（2）根據相似三角形的性質求出PC長以及AP與OP的關系，然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長，從而求出AB長．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折疊可得：AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B．

∴∠APO＝90°．

∴∠APD＝90°﹣∠CPO＝∠POC．

∵∠D＝∠C，∠APD＝∠POC．

∴△OCP∽△PDA；

（2）①∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴＝＝＝＝．

∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP．

∵AD＝8，

∴CP＝4；

②∵BC＝AD＝8．

設OP＝x，則OB＝x，CO＝8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8﹣x，

∴x2＝（8﹣x）2+42．

解得：x＝5．

∴AB＝AP＝2OP＝10．

∴邊AB的長為10．