Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．

①在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，求作一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；

②連接并延長(zhǎng)，過(guò)拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）作軸，垂足為，與射線交于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①連接交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）由，得到A（-2,0），C（3,0），即可寫(xiě)出拋物線的交點(diǎn)式.

（2）①因?yàn)?/span>關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，所以，由兩點(diǎn)之間線段最短，知連接交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，先用待定系數(shù)法求出解析式，將對(duì)稱(chēng)軸代入得到點(diǎn)坐標(biāo).

②設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的解析式、直線的解析式，寫(xiě)出Q、M的坐標(biāo)，分當(dāng)在上方、下方兩種情況，列關(guān)于m的方程，解出并取大于-2的解，即可寫(xiě)出的坐標(biāo).

（1）∵，，

結(jié)合圖象，得A（-2,0），C（3,0），

∴拋物線可表示為：，

∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）①∵關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴,

∴連接交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求.

將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，

得直線的函數(shù)表達(dá)式為.

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，

當(dāng)時(shí)，,

故點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②存在；設(shè)點(diǎn)，則，.

當(dāng)在上方時(shí)，

，，，解得（舍）或；

當(dāng)在下方時(shí)，

，，，解得（舍）或，

綜上所述，的值為或5，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或.