Question

如圖，P₁是反比例函數(shù)在第一象限圖象上的一點(diǎn)，已知△P₁O A₁為等邊三角形，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為(2，0)．

（1）直接寫出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
（2）求此反比例函數(shù)的解析式；
（3）若△P₂A₁A₂為等邊三角形，求點(diǎn)A₂的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）P₁(1，)；（2）；（3）（,0）.

試題分析：（1）由于△P₁OA₁為等邊三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足為C，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)P₁是反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象上的一點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出此反比例函數(shù)的解析式；
（3）作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．設(shè)A₁D=a，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，可用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)P₂的橫、縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進(jìn)而得出A₂點(diǎn)的坐標(biāo)．
試題解析：（1）P₁(1，)；
（2）∵P₁在反比例函數(shù)（＞0）圖象上，∴,
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
（3）設(shè)等邊三角形P₂ A₁ A₂的邊長(zhǎng)為a(a＞0)，則A₂（2+a,0）.
如圖，過(guò)P₂作P₂H⊥x軸，垂足為點(diǎn)H.

∴A₁H=a，P₂H= P₂ A₁sin∠P₂A₁H=a·sin60⁰=,
∴P₂(2+a,). 
∵ P₂在反比例函數(shù)圖象上，∴=，
即，解得：，（舍去）
∴2+a=,∴A₂（,0）
考點(diǎn): 反比例函數(shù)綜合題.