(2013•珠海)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)(點P對應(yīng)點P′),當AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時,點B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點E.
(1)求證:∠CBP=∠ABP;
(2)求證:AE=CP;
(3)當
CP
PE
=
3
2
,BP′=5
5
時,求線段AB的長.
分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P,再根據(jù)等角的余角相等證明即可;
(2)過點P作PD⊥AB于D,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP,從而得證;
(3)設(shè)CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A=
1
2
AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可.
解答:(1)證明:∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,
∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,
又∵∠BPC=∠APP′(對頂角相等),
∴∠CBP=∠ABP;

(2)證明:如圖,過點P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,
∴CP=DP,
∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中,
∠PAD=∠AP′E
∠ADP=∠P′EA=90°
AP=AP′
,
∴△APD≌△P′AE(AAS),
∴AE=DP,
∴AE=CP;

(3)解:∵
CP
PE
=
3
2
,
∴設(shè)CP=3k,PE=2k,
則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,
在Rt△AEP′中,P′E=
(5k)2-(3k)2
=4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°,
∵∠BPC=∠EPP′(對頂角相等),
∴∠CBP=∠EP′P,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,
∴△ABP′∽△EPP′,
AB
P′E
=
P′A
PE

AB
4k
=
P′A
2k
,
解得P′A=
1
2
AB,
在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2,
即AB2+
1
4
AB2=(5
5
2
解得AB=10.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),(2)作輔助線構(gòu)造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵,(3)利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出P′A=
1
2
AB是解題的關(guān)鍵.
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求證:BC=DC.

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