Question

【題目】如圖，已知拋物線 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q，交直線AC于點M和點N，交x軸于點E和點F．

（1）求點A、B、C的坐標；
（2）當點M和點N都在線段AC上時，連接EN，如果點E的坐標為（4，0），求sin∠ANE的值；
（3）在刻度尺平移過程中，當以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： =0，解得x=5或x=﹣3．

∵點A在點B的右側，

∴點A、B的坐標分為（5，0）、（﹣3，0）．

當x=0時，y=5，

∴點C的坐標為（0，5）

（2）

解：如圖1，作EG⊥AC，垂足為點G．

∵點E的坐標為（4，0），

∴OE=4．

∵OA=OC=5，

∴AE=1，∠OAC=45°．

∴AF=FN=2，GE=AEsin45°=

在Rt△EFN中，依據(jù)勾股定理可知NE= = ，

∴sin∠ANE= = =

（3）

解：設直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b．

將點A和點C的坐標代入得： ，

解得k=﹣1，b=5．

∴直線AC的函數(shù)表達式為y=﹣x+5．

①當MN為邊時，如圖2所示：

設點Q（n， ），

則點P（n+1， ），點N（n，﹣n+5）M（n+1，﹣n+4）．

∵QN=PM

∴ ，解得n=2．

∴點N的坐標為（2，3）．

②當MN是平行四邊形的對角線時，如圖3所示：

設點F的坐標為（m，0），

則N（m，﹣m+5），M（m+1，﹣m+4），

Q（m， ），P（m+1， ）．

∵QN=PM，

∴ ，解得m=2± ．

∴點N的坐標為（2+ ，3﹣ ）或（2﹣ ，3+ ）．

綜上所述，以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，點N的坐標為（2，3）

或（2+ ，3﹣ ）或（2﹣ ，3+ ）

【解析】（1）利用坐標軸上點的坐標特征即可結論；（2）先確定出AF=FN=2，GE= ，再利用勾股定理求出NE= ，即可得出結論；（3）先確定出直線AC的函數(shù)表達式為y=﹣x+5．再分MN為邊和對角線兩種情況，建立方程求解即可得出結論．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�