Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC上的中點，連接DE、AF交于G點，連接CG，若CG=4cm，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

解：延長CG，設與AB相交于點H，
∵正方形ABCD，E、F分別為AB，BC的終點，
∴BF=AE，∠DAE=∠ABF=90°，AB=AD，
∴在△DAF和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠FAB=∠EDA，
∵∠FAB+∠DAG=90°，
∴∠EDA+∠DAG=90°，
∴AF⊥DE，
∴△AEG∽△DAG∽△DEA，
∵AE：AD=1：2，
∴EG：DG=1：4，
∵AB∥CD，
∴△HEG∽△CDG，
∴HE：DE=HG：CG=EG：DG=1：4，
∵CG=4，
∴HG=1，HC=5，
∵CD=AB=2AE，
∴HE：AE=1：2，
∴H為AE的中點，
∴在Rt△AGE中，HG=，
∵HG=1，
∴AE=2，
∴AB=4，
∴S_{正方形ABCD}=4×4=16cm²．
分析：首先延長CG，設與AB相交于點H，通過推出△ADE≌△BAF，可以得到AF垂直于DE；然后利用射影定理和勾股定理得到EG：DG=1：4，再利用△HEG∽△CDG，得到HG：CG=EG：DG=1：4，所以CH=5，HG=1，且H為AE中點，然后，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一般，推出AE的長度，既而推出AB的長度，即可推出正方形ABCD面積．
點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，利用相似比推出HG的長度．