Question

閱讀材料：

如圖，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S_△ABC＝ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問(wèn)題：

如圖，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1，4)，交x軸于點(diǎn)A(3，0)，交y軸于點(diǎn)B．

(1)求拋物線和直線AB的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；

(3)是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB＝S_△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y1＝a(x－1)2＋4． 　　把A(3，0)代入解析式求得a＝－1． 　　所以y1＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3． 　　設(shè)直線AB的解析式為y2＝kx＋b． 　　由y1＝－x2＋2x＋3求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)． 　　把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b中， 　　解得k＝－1，b＝3． 　　所以y2＝－x＋3． 　　(2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)， 　　所以當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝4，y2＝2． 　　所以CD＝4－2＝2． 　　S△CAB＝×3×2＝3． 　　(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h， 　　則h＝y(tǒng)1－y2＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x． 　　由S△PAB＝S△CAB， 　　得×3×(－x2＋3x)＝×3． 　　化簡(jiǎn)，得4x2－12x＋9＝0． 　　解得x＝． 　　將x＝代入y1＝－x2＋2x＋3中， 　　解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．