Question

過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A任引一直線交BC和DC的延長(zhǎng)線于P、Q．求證：為定值．

Answer 1

證明：如圖：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，BP=x，則CP=a-x，
∵△ABP∽△QCP，∴=，即：=，得：CQ=．
PQ²=PC²+CQ²=（a-x）²+=．
∵==，∴=．
又==，∴=．
∴+=+=．
∴+=•=•=．
而a是正方形的邊長(zhǎng)，所以+為定值．
分析：首先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，BP的長(zhǎng)為x，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，用含a和x的式子表示CQ，然后用勾股定理求出PQ²，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比表示出和，進(jìn)行計(jì)算證明得到+的值是一個(gè)定值，是正方形邊長(zhǎng)的平方分之一．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的對(duì)邊平行且相等，得到相似三角形，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等進(jìn)行計(jì)算，可以證明+為定值．