Question

如圖1和圖2，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是x軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交x軸于點E．設(shè)A點的橫坐標為m．

（1）若m=3，則點B的坐標為　 　；若m=﹣3，則點B的坐標為　 　；

（2）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時，S=6？

（3）是否存在m，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

 解：（1）∵C的坐標為（0，4），m=3或﹣3，

∴由勾股定理得：AC=5，

∵△AOC∽△BEA且相似比為=2，AO=3  OC=4

∴AE=2，BE=1.5

∴點B的坐標為（5，1.5）或（﹣1，﹣1.5  ），

故答案為：（5，1.5），（﹣1，﹣1.5  ）；      

（2）①當(dāng)0＜m＜8時，如圖（1）

△AOC∽△BEA且相似比為，

求得點B的坐標為（m+2，），

∴S=DC•DB=（m+2）×（4﹣m）=6，

解得  m=2或4，

②當(dāng)m＞8時，如圖（2）

S=DC•DB=（m+2）×（m﹣4）=6，

解得  m=10或m=﹣4（舍去）

∴m=2，m=4，m=10，

（3）①當(dāng)0＜m＜8時，如圖（1）

若△AOC∽△CDB

∴=即：=

∴m無解，

若△AOC∽△BDC，同理，解得m=2﹣2或m=﹣2﹣2（不合題意舍去），

②當(dāng)m＞8時，如圖（2）

若△AOC∽△CDB，

∴=即：=，

解得m=±4+8，取m=4+8，

若△AOC∽△BDC，同理，解得m無解，

③當(dāng)﹣2＜m＜0時，如圖（3），

若△AOC∽△CDB，

∴即：=，

解得m=4+8（不合題意舍去）或m=﹣4+8，

若△AOC∽△BDC，同理，解得m無解，

④當(dāng)m＜﹣2時，如圖（4）

若△AOC∽△CDB，

∴，即：=，

則m無解，

若△AOC∽△BDC，同理，解得m=﹣2﹣2（不合題意舍去）或m=﹣2+2（不合題意舍去）；

則m=2﹣2，m=4+8，m=﹣4+8．

點評： 本題考查了相似形的綜合題，比較繁瑣，難度很大，解答此題的關(guān)鍵是畫出圖形作出輔助線，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)利用比例式列出方程解答．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．