Question

你會求（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）的值嗎？這個問題看上去很復雜，我們可以先考慮簡單的情況，通過計算，探索規(guī)律：
（a-1）（a+1）=a²-1
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
（1）由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想，得到（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）=

a²⁰¹³-1

．
利用上面的結(jié)論，求
（2）2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+‥‥2²+2+1的值是

2²⁰¹⁴-1

．        
（3）求5²⁰¹³+5²⁰¹²+5²⁰¹¹+‥‥5²+5+1的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得到（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）=a²⁰¹³-1；
（2）將得出的規(guī)律中的a換為2，計算即可得到結(jié)果；
（3）將a換為5，計算即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想，得到（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+‥‥a²+a+1）=a²⁰¹³-1；
（2）∵（2-1）（2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+‥‥2²+2+1）=2²⁰¹⁴-1，
∴2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+‥‥2²+2+1的值是2²⁰¹⁴-1；
（3）∵（5-1）（5²⁰¹³+5²⁰¹²+5²⁰¹¹+‥‥5²+5+1）=5²⁰¹⁴-1，
∴5²⁰¹³+5²⁰¹²+5²⁰¹¹+‥‥5²+5+1=

1

4

（5²⁰¹⁴-1）．
故答案為：（1）a²⁰¹³-1；（2）2²⁰¹⁴-1

點評：此題考查了整式的混合運算，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．