Question

（2013•連云港模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

4

3

x+8分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)A，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向以每秒

3

5

個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO于點(diǎn)F，連接DE、EF
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BDE與△BAO相似；
（2）寫出以點(diǎn)D、F、E、O為頂點(diǎn)的四邊形面積s與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）是否存在這樣一個(gè)時(shí)刻，此時(shí)以點(diǎn)D、F、E、B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)

BD

BO

=

BE

AB

，

BD

AB

=

BE

BO

時(shí)兩三角形相似，進(jìn)而求出t的值，即可得出答案；
（2）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形OEFD為梯形，進(jìn)而求出s與t的函數(shù)關(guān)系即可；
（3）根據(jù)（2）中圖形，利用菱形的判定得出t的值即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

4

3

x+8分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、點(diǎn)A，
∴OB=6，OA=8，
則AD=t，BE=

3

5

t，BD=10-t，
∵△BDE與△BAO具有公共角∠ABO．
∴當(dāng)

BD

BO

=

BE

AB

，

BD

AB

=

BE

BO

時(shí)兩三角形相似．
即

10-t

6

=

3 5 t

10

或

10-t

10

=

3 5 t

6

，
解得t=5或

250

34

，
∴當(dāng)t為5或

250

34

時(shí)，△BDE與△BAO相似．

（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF：BO=AD：AB=AF：OA，∴DF=

3

5

t，AF=

4

5

t，
∴BE=DF，∴四邊形DFEB為平行四邊形，S_△DEF=S_△BEF=

1

2

S_DFEB，
∴四邊形OFDE的面積等于△BOF的面積，
∴s=

1

2

BO•OF=

1

2

×6×（8-

4

5

t）=24-

12

5

t（0＜t≤10）．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，四邊形OEFD為梯形，
s=

1

2

（OE+DF）•OF=

1

2

×（

3

5

t-6+

3

5

t）×

4

5

（t-10）=

12

25

t²-

36

5

t+24（t＞10）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，已知四邊形DFEB為平行四邊形，只需保證BD=BE，
即可保證四邊形DFEB是菱形，
即10-t=

3

5

，
解得t=

25

4

．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，易證四邊形BEFD為平行四邊形，只需保證BD=BE，
即可保證四邊形DFEB是菱形，
即t-10

3

5

t，
解得t=25．
綜上所述，當(dāng)t的值為

25

4

或25時(shí)，以點(diǎn)D、F、E、B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定和梯形的面積求法等知識(shí)，利用分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵．