Question

如圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．

(1)求證四邊形ADCE是等腰梯形；

(2)若△ADC的周長為16cm，AE=3cm，AC－EC=3cm，求四邊形ADCE的周長．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵AB∥ED(已知)， ∴∠BAD=∠ADE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)． 又∵∠BAD=∠CAD(角平分線定義)， ∴∠CAD=∠ADE． ∴OA=OD(等角對等邊)． ∵AC=DE(已知)， ∴AC－OA=ED－OD． 即OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE(等邊對等角)． 又∵∠AOD=∠COE(對頂角相等)， ∴∠CAD=∠OCE． ∴AD∥CE(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． 而AD≠CE， ∴四邊形ADCE是梯形． 又∵∠CAD=∠ADE，AD=AD，AC=DE， ∴△ADE≌△DAC， ∴AE=DC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)． ∴四邊形ADCE是等腰梯形． 解：(2)∵四邊形ADCE是等腰梯形， ∴AE=CD=3cm， ∴梯形ADCE的周長=AD＋EC＋AE＋DC=AD＋CE＋6，而△ADC的周長=AD＋DC＋AC=16， ∴AD＋AC=13． ∵AC－EC=3，∴AD＋AC－(AC－EC)=10． 即AD＋EC=10． ∴梯形ADCE的周長=10＋6=16(cm)．

提示：

(1)由角平分線和平行線可得到一些相等的角．如∠OAD=∠ODA．從而有OA=OD，再由AC=DE推出∠OCE=∠OEC，得出結(jié)論AD∥CE，因為AD≠CE，所以能證出四邊形ADCE是梯形，再由已知條件容易證出△ADE≌△DAC，因此有AE=DC，所以可證出四邊形ADCE是等腰梯形． (2)因為四邊形ADCE是等腰梯形，所以由給出條件容易求出四邊形ADCF的周長．