C
分析:(1)由四邊形ABCD是矩形,可得∠B=∠C=90°,又由EF⊥AE,利用同角的余角相等,即可求得∠BAE=∠FEC,然后利用有兩角對應相等的三角形相似,證得△ABE∽△ECF;
(2)由(1),根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/580767.png)
,又由E是BC的中點,即可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/580768.png)
,繼而可求得tan∠BAE=tan∠EAF,即可證得AE平分∠BAF;
(3)當k=1時,可得四邊形ABCD是正方形,由(1)易求得CF:CD=1:4,繼而可求得AB:CD與BE:DF的值,可得△ABE與△ADF不相似.
解答:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵EF⊥AE,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
∴△ABE∽△ECF;
故(1)正確;
(2)∵△ABE∽△ECF,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/580767.png)
,
∵E是BC的中點,
即BE=EC,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/580768.png)
,
在Rt△ABE中,tan∠BAE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/149639.png)
,
在Rt△AEF中,tan∠EAF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/240777.png)
,
∴tan∠BAE=tan∠EAF,
∴∠BAE=∠EAF,
∴AE平分∠BAF;
故(2)正確;
(3)∵當k=1時,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/92616.png)
=1,
∴AB=AD,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,
∵△ABE∽△ECF,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/580769.png)
,
∴CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
CD,
∴CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
CD,
∴AB:AD=1,BE:DF=2:3,
∴△ABE與△ADF不相似;
故(3)錯誤.
故選C.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、正方形的判定與性質以及三角函數(shù)的定義.此題難度較大,注意掌握數(shù)形結合思想的應用.