Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且 、是方程的兩個(gè)根.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線EF平行y軸

交軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E.求DE長(zhǎng)的最大值；

（3）試探究當(dāng)DE取最大值時(shí)，在拋物線x軸下方是否存在點(diǎn)P，使以D、F、B、P

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

 

Answer 1

 解：(1) 解得  

     ∴A(－1, 0)  B(3, 0)  ………………………………………2分

 ∴              ∴         拋物線的解析式是：              ………………3分            

  ∴  當(dāng)時(shí)， ∴ C(0,－3)  ………………………………4分

（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3)  直線BC的解析式是： ………………5分

       設(shè)D（x,x-3）(0≤x≤3),則E（x,x²-2x-3）…………………6分

 ∴DE=(x-3)-( x²-2x-3)=- x²+3x =               …………………………7分        

    ∴當(dāng)      時(shí)，DE的最大值＝    …………………………8分                  

（3）答：不存在. …………………………9分                                        

由（2）知DE 取最大值時(shí)DE＝    ，              ，         

 ∴DF＝   ，BF=OB-OF=   . 

設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以P、D、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

則BP∥DF，BF∥PD. ∴                 或            …………………………10分            

當(dāng)           時(shí)，由（1）知                       

∴P₁不在拋物線上.                                      

當(dāng)           時(shí)，由（1）知                       

∴P₂不在拋物線上.                                       

  綜上所述：拋物線x軸下方不存在點(diǎn)P，使以P、D、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形.…………………………12分