Question

【題目】如圖，拋物線C1：的頂點(diǎn)為A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A ，B .

（2）將拋物線C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式；

（3）將拋物線C1上的點(diǎn)（x，y）變?yōu)椋╧x，ky）（|k|＞1），變換后得到的拋物線記作C2.拋物線C2的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線C2上，滿足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.

①當(dāng)k＞1時(shí)，求k的值；

②當(dāng)k＜-1時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出k的值，不必說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)A(1,);B(2,0);(2) y=-x2+2x；（3）①；② -.

【解析】

（1）把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到A（1，），解方程即可得到B（2，0）；

（2）由拋物線C1解析式求出A、B及原點(diǎn)坐標(biāo)，將三點(diǎn)坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，待定系數(shù)求解可得；

（3）①如圖1中，當(dāng)k＞1時(shí)，與（1）同理可得拋物線C2的解析式為y=-x2+2x及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)S△PAC=S△ABC知BP∥AC，繼而可得△ABO是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入到拋物線C2解析式可求得k的值；

②如圖2中，當(dāng)k＜-1時(shí)，作△ABO關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四邊形CEBP是矩形，先求出拋物線C2解析式，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入到拋物線C2解析式可求得k的值；

(1)A(1,);B(2,0);

（2）∵y=-x2+2x=-（x-1）2+，

∴拋物線C1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（1，）和點(diǎn)B（2，0）三點(diǎn)，

∴變換后的拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，（2，2）和（4，0）三點(diǎn)，

∴變換后拋物線的解析式為y=-x2+2x；

（3）①如圖1中，當(dāng)k＞1時(shí)，

∵拋物線C2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，（k，k），（2k，0）三點(diǎn)，

∴拋物線C2的解析式為y=-x2+2x，

∴O、A、C三點(diǎn)共線，且頂點(diǎn)C為（k，k），

如圖，∵S△PAC=S△ABC，∴BP∥AC，

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AO于E，

由題意知△ABO是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形CEBP是矩形，

∴OE=1，CE=BP=2k-1，

∵∠PBD=60°，∴BD=k-，PD=（2k-1），

∴P（k+，（2k-1）），

∴（2k-1）=-（k+）2+2（k+），

解得：k=；

②如圖2中，當(dāng)k＜-1時(shí)，

∵拋物線C2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，（k，k），（2k，0）三點(diǎn)，

∴拋物線C2的解析式為y=-x2+2x，

∴O、A、C′三點(diǎn)共線，且頂點(diǎn)C′為（k，k），

作△ABO關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′O，OE′⊥A′B′，

∵S△PAC′=S△ABC=S△AC′B′，

∴A′P∥AC′，由題意四邊形PC′OE′是矩形，

∴PE′=OC′=-2k，B′E′=1，PB′=-2k-1，

在Rt△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，

∴DB′=PB′=，DP=（-2k-1），∴點(diǎn)P坐標(biāo)[，（2k+1）]，

∴（2k+1）=-（）2+2（）

∴k=-．