Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)中，拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)．

在如下坐標(biāo)系作出該拋物線簡圖，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

求線段的最大值：

當(dāng)線段最大時(shí)，若點(diǎn)在直線上且，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），圖象詳見解析；（2）或；（3）當(dāng)時(shí)，的值最大為；（4）的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）由于拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)已知，可把拋物線的解析式設(shè)成交點(diǎn)式，再代入另一已知點(diǎn)坐標(biāo)便可求出解析式；

（2）過A作EF⊥x軸，與BC相交于點(diǎn)F，用待定系數(shù)法求出BC的解析式，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，進(jìn)而求得AF與PE，由相似三角形的比例線段求得t便可；

（3）根據(jù)PE關(guān)于t的函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值便可；

（4）分兩種情況：①當(dāng)F點(diǎn)在PE的左邊時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，過E作EN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接OH，通過三角形相似求出MF的值便可；②將求得的F點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)于PM對(duì)稱點(diǎn)便是另一F點(diǎn)．

設(shè)拋物線的解析式為：，

則

，

拋物線的解析式為：，

即

簡圖如下：

過作軸，與相交于點(diǎn)，如圖1，設(shè)，

則，

設(shè)的解析式為，

則

解得

直線的解析式為：

，

，

，

，

解得，或，

或；

的解析式為：，

當(dāng)時(shí)，的值最大為；

當(dāng)點(diǎn)在的左邊時(shí)，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，

由知，當(dāng)取最大值時(shí)，

，

,

，

∵是Rt△AOC斜邊上的中線，，

∵×OA×OC=×AC×OG

∴

，，

，

，

即

當(dāng)點(diǎn)在的右邊時(shí)，

此時(shí)的點(diǎn)恰好與關(guān)于對(duì)稱，

∵，直線的解析式為：

可設(shè)直線PM的解析式為：y=x+n

把代入得，解得n=

∴直線PM的解析式為：y=x+

聯(lián)立，解得

設(shè)F’（p,q）

則，解得

∴

故的坐標(biāo)為或．