(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∵△BCE沿BE折疊為△BFE,
∴∠BFE=∠C=90°,
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°,
又∵∠AFB+∠ABF=90°,
∴∠ABF=∠DFE,
∴△ABF∽△DFE,
(2)解:在Rt△DEF中,sin∠DFE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/189775.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,
∴設DE=a,EF=3a,DF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/248077.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
a,
∵△BCE沿BE折疊為△BFE,
∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,∠EBC=∠EBF,
又由(1)△ABF∽△DFE,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/401692.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122640.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/565744.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,
∴tan∠EBF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/401692.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,
tan∠EBC=tan∠EBF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
.
分析:(1)根據矩形的性質可知∠A=∠D=∠C=90°,△BCE沿BE折疊為△BFE,得出∠BFE=∠C=90°,再根據三角形的內角和為180°,可知∠AFB+∠ABF=90°,得出∠ABF=∠DFE,即可證明△ABF∽△DFE,
(2)已知sin∠DFE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,設DE=a,EF=3a,DF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/248077.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
a,可得出CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,∠EBC=∠EBF,由(1)中△ABF∽△DFE,可得tan∠EBC=tan∠EBF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/401692.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
.
點評:本題考查了矩形的性質以及相似三角形的證明方法,以及直角三角形中角的函數(shù)值,難度適中.