Question

如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB＝2∠BCP．

(1)求證：直線CP是⊙O的切線．

(2)若BC＝2，sin∠BCP＝，求點B到AC的距離．

(3)在第(2)的條件下，求△ACP的周長．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1))根據(jù)∠ABC＝∠AC且∠CAB＝2∠BCP，在△ABC中∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180°，得到2∠BCP＋2∠BCA＝180°，從而得到∠BCP＋∠BCA＝90°，證得直線CP是⊙O的切線． 　　(2)作BD⊥AC于點D，得到BD∥PC，從而利用sin∠BCP＝sin∠DBC＝＝＝，求得DC＝2，再根據(jù)勾股定理求得點B到AC的距離為4． 　　(3)先求出AC的長度，然后利用BD∥PC的比例線段關(guān)系求得CP的長度，再由勾股定理求出AP的長度，從而求得△ACP的周長． 　　解答：解：(1)∵∠ABC＝∠AC且∠CAB＝2∠BCP，在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180° 　　∴2∠BCP＋2∠BCA＝180°， 　　∴∠BCP＋∠BCA＝90°， 　　∴直線CP是⊙O的切線． 　　(2)如圖，作BD⊥AC于點D， 　　∵PC⊥AC 　　∴BD∥PC 　　∴∠PCB＝∠DBC 　　∵BC＝2，sin∠BCP＝， 　　∴sin∠BCP＝sin∠DBC＝＝＝， 　　解得：DC＝2， 　　∴由勾股定理得：BD＝4， 　　∴點B到AC的距離為4． 　　(3)如圖，連接AN， 　　在Rt△ACN中，AC＝＝＝＝5， 　　又CD＝2，∴AD＝AC－CD＝5－2＝3． 　　∵BD∥CP，∴＝，∴CP＝． 　　在Rt△ACP中，AP＝＝， 　　AC＋CP＋AP＝5＋＋＝20， 　　∴△ACP的周長為20． 　　點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)等知識，考查的知識點比較多，難度較大．

提示：

考點：切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．