Question

已知拋物線y＝a(x－m)²＋n與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．

(1)如圖，求拋物線y＝(x－2)²＋1的伴隨直線的解析式．

(2)如圖，若拋物線y＝a(x－m)²＋n(m＞0)的伴隨直線是y＝x－3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式．

(3)如圖，若拋物線y＝a(x－m)²＋n的伴隨直線是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴隨四邊形ABCD是矩形．

①用含b的代數(shù)式表示m、n的值；

②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD是一個(gè)等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知得B(2，1)，A(0，5)　　1分 　　設(shè)所求直線的解析式為y＝kx＋b，則　　1分 　　解得，∴所求直線的解析式為y＝－2x＋5　　1分 　　(2)如圖，作BE⊥AC于點(diǎn)E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)　　1分 　　可得AC＝6　　1分 　　∵□ABCD的面積為12， 　　∴S△ABC＝6即S△ABC＝AC·BE＝6　∴BE＝2 　　∵m＞0，即頂點(diǎn)B有y軸的右側(cè)，且在直線y＝x－3上， 　　∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(2，－1)　　1分 　　又拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0，－3) 　　∴a＝－ 　　∴y＝－(x－2)2－1　　1分 　　(寫成y＝－x2＋2x－3也可) 　　(3)①方法一：如圖，作BE⊥x軸于點(diǎn)E 　　由已知得：A的坐標(biāo)為(0，b)，C的坐標(biāo)為(0，－b)． 　　∵頂點(diǎn)B(m，n)在直線y＝－2x＋b上， 　　∴n＝－2m＋b，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，－2m＋b)　　1分 　　在矩形ABCD中，OC＝OB， 　　OC2＝OB2 　　即b2＝m2＋(－2m＋b)2 　　∴5m2－4mb＝0 　　∴m(5m－4b)＝0 　　∴m1＝0(不合題意，舍去)，m2＝b　　1分 　　∴n＝－2m＋b＝－2×b＋b＝－b　　1分 　　方法二：如圖，作BE⊥x軸于點(diǎn)E 　　類似方法一可得：A的坐標(biāo)為(0，b)，C的坐標(biāo)為(0，－b)． 　　∵頂點(diǎn)B(m，n)在直線y＝－2x＋b上， 　　∴n＝－2m＋b，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，－2m＋b)　　1分 　　∴AE＝b－(－2m＋b)＝2m 　　CE＝－2m＋b－(－b)＝2b－2m，BE＝m， 　　∵AB⊥BC于點(diǎn)B， 　　∴△ABC∽△AEB， 　　BE2＝AE·CE，即m2＝2m(2b－2m)， 　　∴m1＝0(不合題意，舍去)，m2＝b　　1分 　　∴n＝－2m＋b＝－2×b＋b＝－b　　1分 　�、诖嬖冢菜膫€(gè)點(diǎn)如下： 　　P1(b，b)，P2(b，b)，P3(b，b)，P4(b，－b)　　4分 　　(只寫“存在”的給1分)