Question

【題目】如圖：直線(xiàn)y=-x+5分別與軸、軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,0），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）請(qǐng)?jiān)谥本�(xiàn)AB找一點(diǎn)M和軸上找一點(diǎn)N，使△CMN的周長(zhǎng)最短，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)和△CMN的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）A（5，0）；B（0，5）；（2）D（5，1）；（3）N(0，) ；

【解析】

（1）令x=0，則y=5；令y=0，則x=5，即可求得；（2）首先根據(jù)直線(xiàn)AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）作出點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接DE交AB于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則此時(shí)△CMN的周長(zhǎng)最短．由D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)DC′的解析式，再根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

(1) ∵直線(xiàn)分別與軸、軸交于A、B兩點(diǎn)

令，則；令，則

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5,0）、點(diǎn)B 坐標(biāo)為（0, 5）；

(2)如圖：過(guò)A作直線(xiàn)l⊥x軸，作CD⊥AB交直線(xiàn)l于D，

∵OA=OB=5，

∴∠OAB=45°，

∵CD⊥AB，直線(xiàn)l⊥x軸，

∴∠DCA=45°，∠DAB=45°

∴∠CDA=45°，

∴AD=AC，

∵AB⊥CD，

∴AB垂直平分CD，

∴D即是C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

∵A（5，0），C（4，0）

∴AC=AD=1，

∴ 點(diǎn)C 關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，1），

(3) 作點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，則C′的坐標(biāo)為（-4,0）

連接C′D交AB于點(diǎn)M，交軸于點(diǎn)N，

∵點(diǎn)C、C′關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)

∴NC= NC′，

∵點(diǎn)C、D關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)，

∴CM=DM，

此時(shí)，△CMN的周長(zhǎng)=CM+MN+NC= DM +MN+ NC′= DC′周長(zhǎng)最短；

設(shè)直線(xiàn)C′D的解析式為

∵點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（-4,0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5,1）

∴，解得

∴直線(xiàn)C′D的解析式為，

與軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (0，)

根據(jù)勾股定理，或兩點(diǎn)間距離公式可求 △CMN的周長(zhǎng)