Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的OA邊在x軸正半軸上，點C，B在第一象限內，∠AOC=60°，A（4，0），OC=2
（1）求B點坐標；
（2）點P是x軸上一動點，當點P在什么位置時，線段CP與線段BP之和最短？請在圖中標出點P，并求出此時點P的坐標和CP+BP的值．

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥OA，過B作BF⊥OA，先利用三角函數求出OE、CE的長度，從而得出C點縱坐標坐標，然后利用平行四邊形的性質求得點B的坐標，；
（2）作點C關于x軸的對稱點C′，連接C′B交x軸于P，則此時線段CP與線段BP之和最短，即CP+BP=C′B，根據勾股定理得到BC′=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．于是得到CP+BP的最短距離是2$\sqrt{7}$，由于OE=1，PE=$\frac{1}{2}$BC=2，得到OP=1+2=3，即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，過C作CE⊥OA，過B作BF⊥OA，
由題意可得OA=4，∠AOC=60°，
∴OE=1，CE=$\sqrt{3}$，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，
∴B和C的縱坐標相等，
∴B的縱坐標為$\sqrt{3}$，
∵AF=1，
∵OA=4，
∴OF=5，
∴點B的橫坐標坐標是5，
∴點B的坐標是（5，$\sqrt{3}$）；

（2）如圖2，作點C關于x軸的對稱點C′，
連接C′B交x軸于P，則此時線段CP與線段BP之和最短，
即CP+BP=C′B，
∵BC∥OA，
∴∠BCC′=90°，CC′=2$\sqrt{3}$，BC=OA=4，
∴BC′=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴CP+BP的最短距離是2$\sqrt{7}$，
∵OE=1，PE=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴OP=1+2=3，
∴P（3，0）．

點評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，平行四邊形的性質，勾股定理，坐標與圖形的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．