Question

如圖，已知平行四邊形ABCD，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結(jié)AF、CE．

    (1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；

    (2)當(dāng)AECF為菱形，M點為BC的中點時，求AB：AE的值．

Answer 1

 (1)證明：因為AE⊥BC，所以∠AMB=90⁰，

因為CN⊥AD，所以∠CNA=90⁰．

又因為BC‖AD，所以∠BCN=90⁰．

所以AE∥CF，………………………………………………………………………2分

又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC，

所以ΔADE≌△BCF，

所以AE=CF，

所以四邊形AECF為平行四邊形．…………………………………………………4分

(2)當(dāng)AECF為菱形時，連結(jié)AC交BF于點0，

則AC與EF互相垂直平分，

又BO=OD，

所以AC與BD互相垂直平分，

所以，四邊形ABCD是菱形，……………………6分

所以AB=BC.

因為M是BC的中點，AM⊥BC，

所以，ΔABM≌ΔCAM，

所以，AB=AC，

ΔABC為等邊三角形，

∠ABC=60⁰，∠CBD=30⁰．  ………………………………………………………8分

在RtΔBCF中，   

CF：BC=tan∠CBF=，

又AE=CF，AB=BC，   

所以AB：AE=…………………………………………………………………l0分