Question

如圖，拋物線y=ax²﹣x﹣2（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；

（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標代入解析式中即可．

（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．

（3）△MBC的面積可由S_△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．

【解答】解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣x﹣2．

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC²=OA•OB，

又∵OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，

∴∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

∴該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為（1.5，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b=x²﹣x﹣2，即：x²﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；

∴直線l：y=x﹣4．

由于S_△MBC=BC×h，當h最大（即點M到直線BC的距離最遠）時，△ABC的面積最大

所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：

，

解得：，

即M（2，﹣3）．

【點評】考查了二次函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的相關性質以及三角形的面積公式是理出思路的關鍵．