Question

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=上．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，連接CD，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合），過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求出S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上（3）當(dāng)t=時(shí)，S取最大值是，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）

【解析】分析：(1)、通過(guò)點(diǎn)B（0，4）以及拋物線的對(duì)稱軸，求出函數(shù)關(guān)系式；(2)、通過(guò)勾股定理和菱形性質(zhì)求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式求證；(3)、通過(guò)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，通過(guò)△OMN∽△OBD求得ON=，再通過(guò)面積求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而求得最大值和M點(diǎn)的坐標(biāo)．

詳解：（1）∵拋物線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，4）∴c=4，

∵拋物線的對(duì)稱軸為，∴﹣=﹣，∴b=﹣；

∴所求函數(shù)關(guān)系式為；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）， 當(dāng)x=5時(shí)，y=，

當(dāng)x=2時(shí)，y=， ∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

（3）設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b， 則，解得：，∴，

當(dāng)時(shí)，y，∴P（）， ∵M(jìn)N∥BD， ∴△OMN∽△OBD，

∴ 即 得ON=， 設(shè)對(duì)稱軸交x于點(diǎn)F，

則=（PF+OM）OF=×（+t）×， ∵，

， S△PMN= (0＜t＜4)，

a=＜0∴拋物線開(kāi)口向下，S存在最大值． 由S△PMN=，

∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值是，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）．