我市某游樂場投資150萬元引進(jìn)一項大型游樂設(shè)施.若不計維修保養(yǎng)費用,預(yù)計開放后每月可創(chuàng)收35萬元.而該游樂設(shè)施開放后,從第1個月到第x個月的維修保養(yǎng)費用累計為y(萬元),且y=ax2+bx;若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費用稱為游樂場的純收益g(萬元),g也是關(guān)于x的解析式;
(1)若維修保養(yǎng)費用第1個月為2萬元,第2個月累計為6萬元.求y關(guān)于x的解析式;
(2)求純收益g關(guān)于x的解析式;
(3)問設(shè)施開放幾個月后,游樂場的純收益達(dá)到最大?并求出該游樂場的最大純收益.
【答案】
分析:(1)將x與y的值代入y=ax
2+bx建立二元一次方程組求出其解即可;
(2)純收益g=x個月的總利潤-總投資150萬-x個月的維修保養(yǎng)費用,化簡即可求的g關(guān)于x的解析式;
(3)先用配方法把解析式化為頂點式,求得頂點坐標(biāo)即可知其最大值問題;只有當(dāng)g>0時,才能回收投資,所以可根據(jù)二次函數(shù)g>0時對應(yīng)的x值來確定其在第6個月可回收投資.
解答:解:(1)由題意得:x=1時y=2;
x=2時,y=6代入得:

解之得:
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.
∴y=x
2+x;
(2)由題意得:
g=35x-150-(x
2+x)
g=-x
2+34x-150;
(3)∵g=-x
2+34x-150;
∴g=-x
2+34x-150=-(x-17)
2+139,
∴a=-1<0,拋物線開口向下,g有最大值.
∴當(dāng)x=17時,g最大值=139,
點評:本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題,借助二次函數(shù)解決實際問題.