Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（m，0），（n，4），且m＞0，四邊形ABCD是矩形．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，求m，n的值；

（2）在圖2中，畫(huà)出矩形ABCD，簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)C，D的位置是如何確定的，并直接用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）探究：當(dāng)m為何值時(shí)，矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，

∴∠AED=∠AOB=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ADE=∠BAO，

在△ABO和△ADE中， ，

∴△ABO≌△ADE，

∴DE=OA，AE=OB，

∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），

∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，

∴n=3，

∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，

∴m=1；

（2）解：畫(huà)法：如圖2，①過(guò)點(diǎn)A畫(huà)AB的垂線l1，

過(guò)點(diǎn)B畫(huà)AB的垂線l2，

②過(guò)點(diǎn)E（0，4），畫(huà)y軸的垂線l3交l1于D，

③過(guò)點(diǎn)D畫(huà)直線l1的垂線交直線l2于點(diǎn)C，

所以，四邊形ABCD是所求作的圖形，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，

∴∠CBF+∠BCF=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴∠ABO+∠CBF=90°，

∴∠BCF=∠ABO，

同理：∠ABO=∠DAE，

∴∠BCF=∠DAE，

在△ADE和△CBF中， ，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE=BF=n，AE=CF=1，

易證△AOB∽△DEA，

∴ ，∴ ，

∴n= ，

∴OF=OB+BF=m+ ，

∴C（m+ ，1）；

（3）解：如圖3，由矩形的性質(zhì)可知，BD=AC，

∴BD最小時(shí)，AC最小，

∵B（m，0），D（n，4），

∴當(dāng)BD⊥x軸時(shí)，BD有最小值4，此時(shí)，m=n，

即：AC的最小值為4，

連接BD，AC交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，

由矩形的性質(zhì)可知，DM=BM= BD=2，

∵A（0，3），D（n，4），

∴DE=1，

∴EM=DM﹣DE=1，

在Rt△AEM中，根據(jù)勾股定理得，AE= ，

∴m= ，即：

當(dāng)m= 時(shí)，矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)最短為4．

【解析】（1）先判斷出∠ADE=∠BAO，即可判斷出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；（2）先根據(jù)垂直的作法即可畫(huà)出圖形，判斷出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判斷出△AOB∽△DEA，即可得出OB= ，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出BD⊥x軸時(shí)，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等)．