Question

（2012•衢州模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿C-A-B方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，則t的值為

3或6或

27

5

或

13

2

．

Answer 1

分析：當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)應(yīng)分當(dāng)C是頂角頂點(diǎn)，當(dāng)B是頂角頂點(diǎn)，當(dāng)P是頂角的頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理和三角形的中位線(xiàn)定理求得BP的長(zhǎng)，從而求解．

解答：解：當(dāng)C是頂角頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)如圖（1）所示：PC=BC=3，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒；
當(dāng)如圖（2）所示：CE=

AC•BC

AB

=

3×4

5

=

12

5

，
在直角△BCE中，BE=

BC2-CE2

=

9

5

．
則PB=2BE=

18

5

，AC+AP=4+5-

18

5

=

27

5

；
當(dāng)B是頂角頂點(diǎn)時(shí)，AP+AC=AC+AB-BP=4+5-3=6，則t的值是6；
當(dāng)P是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，P是BC的中垂線(xiàn)與AB的交點(diǎn)，如圖（3），
PE是△ABC的中位線(xiàn)，則PE=

1

2

AC=2，
則直角△BPE中，BP=

BE2+PE2

=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
則AC+AP=AC+AB-BP=4+5-

5

2

=

13

2

，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t是

13

2

秒．
故答案是：3或6或

27

5

或

13

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．