Question

已知等邊△ABC邊長(zhǎng)為a，D、E分別為AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持DE∥BC，如圖（1），⊙O₁與⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分別與∠B和∠C的兩邊及DE都相切，其中和DE、BC的切點(diǎn)分別為M、N、M′、N′．
（1）求證：⊙O₁和⊙O₂是等圓；
（2）設(shè)⊙O₁的半徑長(zhǎng)為x，圓心距O₁O₂為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切時(shí)，求x的值；
（4）如圖（2），當(dāng)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)時(shí)，將⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后將重合后的圓沿著△ABC內(nèi)各邊按圖（2）中箭頭的方向進(jìn)行滾動(dòng)，且總是與△ABC的邊相切，當(dāng)點(diǎn)O₁第一次回到它原來(lái)的位置時(shí)，求點(diǎn)O₁經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)度？

Answer 1

（1）連接MM′、NN′．
∵DE和BC是⊙O₁的切線(xiàn)，DE∥BC，
∴MM′過(guò)點(diǎn)O₁．同理NN'過(guò)點(diǎn)O₂．∵M(jìn)M′⊥BC，MM′⊥DE，NN′⊥BC
∴四邊形MM′N(xiāo)′N(xiāo)是矩形．
∴MM′=NN′，即⊙O₁和⊙O₂是等圓；

（2）連接O_lB，O_lO₂，O₂C，O_lM′，O₂N′．
易證四邊形O₁BCO₂是等腰梯形，四邊形O₁M′N(xiāo)′O₂是矩形．
在Rt△O₁BM′中，∠0₁BM′=30°，O_lM′=x，
則BM′=

3

x．
∵y=O₁0₂=M′N(xiāo)′，BM′=N′C=

3

x，BC=BM′+M′N(xiāo)′+N′C，
∴y+2

3

=a，
∴y=a-2

3

x，
求得0＜x≤

3

6

a；

（3）當(dāng)⊙O_l和⊙O₂外切時(shí)，O_lO₂=2x，2x=a-2

3

x，
∴x=（

3

-1）

a

4

；

（4）當(dāng)DE是△ABC的中位線(xiàn)時(shí)，求得x=

3

8

a．
此時(shí)BM'=

3

x=

3

8

a．
⊙O₁的圓心O₁所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是與△ABC相似，且各邊與△ABC各邊距離為

3

8

a的正三角形．
其邊長(zhǎng)為a-

3

8

a×2=

a

4

，
∴所求的圓心O₁走過(guò)的長(zhǎng)度為：

a

4

×3=

3

4

a．