Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=8，DC=4，∠ABC=90°，∠A=60°．M點(diǎn)、N點(diǎn)是梯形邊上的動(dòng)點(diǎn)，M、N之間的線段長(zhǎng)或折線長(zhǎng)始終為2，它們同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．N點(diǎn)從A點(diǎn)開始先沿AD方向，再沿DC方向，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過M點(diǎn)作MH⊥AB，垂足為H，與BN交于O點(diǎn)，連接HN．設(shè)A、N之間的線段長(zhǎng)或折線長(zhǎng)為x（x＞0）．解答下列問題：
（1）當(dāng)△AHN為等邊三角形時(shí)，求x的值；
（2）當(dāng)MN為線段時(shí)，并且△OHB與以O(shè)、M、N三點(diǎn)組成的三角形相似，求x的值或x的取值范圍；
（3）設(shè)△AHN的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得到AN=AH，然后得到AH與AM的關(guān)系，從而得到有關(guān)x的方程，求解即可；
（2）分當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在AD上時(shí)和當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在DC上時(shí)兩種情況分類討論即可；
（3）分當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在AD上，即0＜x≤6時(shí)、當(dāng)N點(diǎn)在AD上、M點(diǎn)在DC上，即6＜x≤8時(shí)、當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在DC上，即8＜x≤10時(shí)和當(dāng)N點(diǎn)在DC上，M點(diǎn)在BC上四中情況分類討論即可．
解答：解：（1）∵∠A=60°，
∴當(dāng)AN=AH時(shí)，△AHN為等邊三角形．
由已知在Rt△MAH中，∠A=60°，
則∠AMH=30°，
∴AH=AM=．
由，解得：x=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，△AHN為等邊三角形；

（2）分兩種情況討論：
①當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在AD上時(shí)，如圖1，
過D點(diǎn)作DE⊥AB交AB于E，
∴AE=AD•cosA=8×=4，BE=CD=4，
∴AB=8，…（4分）
∵∠MON=∠BOH，
∴當(dāng)∠MNO=∠BHO=90°時(shí)，△OMN∽△OBH，
此時(shí)AN=AB•cosA=8×=4，即x=4；
②當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在DC上時(shí)，如圖2，
∵AB∥CD，
∴在這種情況下，不論x取何值，△OMN與△OHB都相似；
綜上所述：當(dāng)x=4或8≤x＜10時(shí)，△OHB與以O(shè)、M、N
三點(diǎn)組成的三角形相似．

（3）分以下四種情況：
①當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在AD上，即0＜x≤6時(shí)，如圖1，
過N點(diǎn)作NF⊥AB于F，
∴NF=AN•sinA=，
∴S===；
②當(dāng)N點(diǎn)在AD上、M點(diǎn)在DC上，即6＜x≤8時(shí)，如圖3，
過N點(diǎn)作NG⊥AB于G，與①同理NG=，
∵DM=x+2-8=x-6，
∴HB=MC=4-（x-6）=10-x，
∴AH=8-（10-x）=x-2，
∴S===；
③當(dāng)N、M兩點(diǎn)都在DC上，即8＜x≤10時(shí)，如圖2，
此時(shí)△AHN的高為MH，過N點(diǎn)作NE⊥AB于E，
由（2）①可求得MH=DE=，
有②得AH=x-2，
∴S===；
④當(dāng)N點(diǎn)在DC上，M點(diǎn)在BC上，即10＜x≤12時(shí)，如圖4，
此時(shí)O點(diǎn)、H點(diǎn)與B點(diǎn)重合
∴S=AB，
BC==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是題目中滲透的分類討論的數(shù)學(xué)思想更是中考的熱點(diǎn)考點(diǎn)之一．