Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形．

（1）如圖（1），點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在射線CB上，且ED=EC．將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，連接EF．猜想線段AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，其它條件與（1）中一致，請(qǐng)?jiān)趫D（2）的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并猜想線段AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）請(qǐng)選擇（1）或（2）中的一個(gè)猜想進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】（1）猜想：AB=AF+BD；（2）猜想：AB=AF﹣BD；（3）AB=AF+BD．證明見(jiàn)解析.

【解析】整體分析：

（1）由于AF=BE，可能有BD=AE，因此猜想AB=AF+BD；（2）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，由圖形猜想AB=AF﹣BD；（3）證猜想（1），過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AC于點(diǎn)G，則△AEG為等邊三角形，可證△BDE≌△GEC，得BD=AE，即可證明.

解：（1）猜想：AB=AF+BD；

（2）如圖2，猜想：AB=AF﹣BD；

（3）如圖（1），過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AC于點(diǎn)G，得△AEG為等邊三角形，

∵DE=CE，

∴∠CDE=∠ECD，

又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，

∴∠BED=∠GCE，

在△BDE和△GEC中，

，

∴△BDE≌△GEC，

∴BD=EG=AE

又∵AF=BE，

∴AB=BE+AE=AF+BD．