已知二次函數(shù)y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)和點(diǎn)B(x2,0),x1<x2,與y軸交于點(diǎn)C,且滿足

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)探究:在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PACB為平行四邊形?如果有,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果沒有,請(qǐng)說明理由.

 

【答案】

(1)y=x2+x﹣2.(2)有,P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,2).

【解析】解:(1)∵二次函數(shù)y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)和點(diǎn)B(x2,0),x1<x2

令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0 ①,則有:

x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m.

===,

化簡得到:m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1.

當(dāng)m=﹣2時(shí),方程①為:x2﹣2x+4=0,其判別式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此時(shí)拋物線與x軸沒有交點(diǎn),不符合題意,舍去;

當(dāng)m=1時(shí),方程①為:x2+x﹣2=0,其判別式△=b2﹣4ac=9>0,此時(shí)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),符合題意.

∴m=1,

∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣2.

(2)假設(shè)在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PACB為平行四邊形.[來源:Z§xx§k.Com]

如圖所示,連接PA.PB.AC.BC,過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D點(diǎn).

∵拋物線y=x2+x﹣2與x軸交于A.B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),

∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2),∴OB=1,OC=2.

∵PACB為平行四邊形,∴PA∥BC,PA=BC,

∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB.

在Rt△PAD與Rt△CBO中,

∴Rt△PAD≌Rt△CBO,

∴PD=OC=2,即yP=2,

∴直線解析式為y=x+3,

∴xP=﹣1,

∴P(﹣1,2).

所以在直線y=x+3上存在一點(diǎn)P,使四邊形PACB為平行四邊形,P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,2).

(1)欲求拋物線的解析式,關(guān)鍵是求得m的值.根據(jù)題中所給關(guān)系式,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可以求得m的值,從而問題得到解決.注意:解答中求得兩個(gè)m的值,需要進(jìn)行檢驗(yàn),把不符合題意的m值舍去;

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形,根據(jù)全等關(guān)系求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),進(jìn)而得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A、
3
4
B、-
3
4
C、
5
4
D、-
5
4

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(3)寫出當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍.

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