Question

如圖，一個(gè)直角三角形紙片的頂點(diǎn)A在∠MON的邊OM上移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中始終保持AB⊥ON于點(diǎn)B，AC⊥OM于點(diǎn)A．∠MON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)．

(1)點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(2)點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，若射線ON上始終存在一點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于OP所在的直線對(duì)稱(chēng)，判斷并說(shuō)明以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是怎樣特殊的四邊形？

(3)若∠MON＝45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

(1)AE＝AD　　2分 　　(2)菱形　　3分 　　(法一)：連接DF、EF 　　∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)， 　　E、D在OP上， 　　∴AE＝FE，AD＝FD　　5分 　　由(1)得AE＝AD 　　∴AE＝FE＝AD＝FD 　　∴四邊形ADFE是菱形　　7分 　　(法二)：連接AF交DE于點(diǎn)G，連接DF，EF．點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)可知：AF⊥DE，AE＝FE， 　　3分 　　∴AG＝FG， 　　又∵AE＝AD 　　∴DG＝EG 　　∴四邊形ADFE是平行四邊形　　6分 　　∵AF⊥DE 　　∴平行四邊形ADFE是菱形　　7分 　　(3)OC＝AC＋AD　　8分 　　(法一)：證明：連接EF 　　∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)， 　　∴AO＝OF 　　∵AC⊥OM，∠MON＝45° 　　∴∠OAC＝90° 　　∴∠ACO＝∠MON＝45° 　　∴OF＝AO＝AC　　10分 　　由(2)知四邊形ADFE是菱形 　　∴EF∥AB，AD＝EF 　　∵AB⊥ON 　　∴∠ABC＝90° 　　∴∠EFC＝∠ABC＝90° 　　∵∠ACO＝45° 　　∴∠ACO＝∠CEF 　　∴FC＝EF＝AD 　　又∵OC＝OF＋FC 　　∴OC＝AC＋AD　　12分 　　(法2)證明：連接EF 　　∵AC⊥OM，∠MON＝45° 　　∴∠OAC＝90° 　　∴∠ACO＝∠MON＝45° 　　∴AO＝AC 　　由(2)知四邊形ADFE是菱形 　　∴EF∥ABAD＝EF 　　∵AB⊥ON 　　∴∠ABC＝90° 　　∴∠EFC＝∠ABC＝90° 　　∵∠ACO＝45° 　　∴∠FEC＝∠ACO＝45°　　9分 　　∴FC＝FE＝AD 　　∵∠AOE＝∠FOE 　　∵OE＝OE，∠OAC＝∠OFE＝90° 　　∵△OAE≌△OFE　　11分 　　∴OA＝OF 　　∴OF＝AC 　　又∵OF＋FC＝OC 　　∴AC＋AD＝OC　　12分 　　(法3)證明：延長(zhǎng)EA到G點(diǎn)，使AG＝AE 　　∵∠OAE＝90° 　　∴OA⊥GE 　　∴OG＝OE 　　∴∠AOG＝∠EOA 　　∵∠AOC＝45°，OP平分∠AOC 　　∴∠AOE＝22.5° 　　∴∠AOG＝22.5°∠G＝67.5° 　　∴∠COG＝∠G＝67.5° 　　∴CG＝OC　　10分 　　由(1)得AD＝AE 　　∵AD＝AE＝AG 　　∴AC＋AD＝OC　　12分