Question

【題目】如圖，在矩形中，，，為對(duì)角線上一點(diǎn)，且，過(guò)作，分別交、于、。動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線上運(yùn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在線段上沿方向運(yùn)動(dòng)。以為邊作等邊。已知、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)返回點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）求線段，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)等于多少；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與矩形的重疊部分面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；

（3）將四邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在此過(guò)程中，設(shè)直線分別與直線、交于點(diǎn)、，當(dāng)是以為底角的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）線段BF=4，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)t=3；（2）見(jiàn)解析；（3）或，或.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件通過(guò)解直角三角形即可求解；

（2）分為四種情況，畫(huà)出圖形，求出各個(gè)三角形的面積，根據(jù)圖形即可得出答案；

（3）先根據(jù)解直角三角形,求得BF的長(zhǎng),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求得的長(zhǎng),最后根據(jù)四邊形BCGF旋轉(zhuǎn)后的兩種不同位置進(jìn)行討論,求得DN的長(zhǎng).

（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=,

∴∠ABD=30，BD=，

∵DE=2BE，F(xiàn)G⊥BD，

∴DE=4，BE=2

∴；

∴當(dāng)點(diǎn)R落在線段CD時(shí)，ΔPQR的高為，則底為6，所以t=3.

（2）四種情況如圖所示圖1，圖2,圖3，圖4

圖1所示，當(dāng)時(shí)，，

圖2所示，當(dāng)時(shí)，，

圖3 所示，當(dāng)時(shí)，

圖4所示，當(dāng)時(shí)， ；

（3）由（1）得BF=4，由旋轉(zhuǎn)可得BF'=BF=4，∠F'BC'=∠FBC=90°，∠BFG=∠BF'G'=60°，①如圖5，當(dāng)△DMN是以∠MDN，∠MND為底角的等腰三角形時(shí)，∠N=30°，

∴tan∠BNF'=，

∴，即BN=4，

∴DN=BD+BN=6+4=10；

②如圖6，當(dāng)△DMN是以∠MDN．∠NMD為底角的等腰三角形時(shí)，∠BNM=60°=∠BF'M，此時(shí)，F'與N重合，故BF'=BN=4，

∴DN=BD﹣BN=6﹣4．

故答案為：10或6﹣4