Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且B（1，0）

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，已知直線分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交直線CF于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD的延長線上，連接QE．問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），A（﹣3，0）；（2）P（，）；（3）QD為腰的等腰三角形的面積最大值為．

【解析】

試題分析：（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a的值，可求得拋物線解析式，再令y=0，可解得相應(yīng)方程的根，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，連接AP交y軸于點(diǎn)B′，可證△OBP≌△OB′P，可求得B′坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AP的解析式，聯(lián)立直線y=x，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，可知此時(shí)沒有滿足條件的點(diǎn)P；

（3）過Q作QH⊥DE于點(diǎn)H，由直線CF的解析式可求得點(diǎn)C、F的坐標(biāo)，結(jié)合條件可求得tan∠QDH，可分別用DQ表示出QH和DH的長，分DQ=DE和DQ=QE兩種情況，分別用DQ的長表示出△QDE的面積，再設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△QDE的面積的最大值．

試題解析：（1）把B（1，0）代入，可得a+2﹣3=0，解得a=1，∴拋物線解析式為，令y=0，可得，解得x=1或x=﹣3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）；

（2）若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，如圖1，若P點(diǎn)在x軸上方，PA與y軸交于點(diǎn)B′，

由于點(diǎn)P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，在△BPO和△B′PO中，∵∠POB=∠POB′，OP=OP，∠BOP=∠B′OP，∴△BPO≌△B′PO（ASA），∴BO=B′O=1，設(shè)直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，解得：，∴直線AP解析式為，聯(lián)立，解得：，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

若P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，∴∠APO≠∠BPO，即此時(shí)沒有滿足條件的P點(diǎn)，綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

（3）如圖2，作QH⊥CF，交CF于點(diǎn)H，∵CF為，∴可求得C（，0），F(xiàn)（0，），∴tan∠OFC==，∵DQ∥y軸，∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，∴tan∠HDQ=，不妨設(shè)DQ=t，DH=t，HQ=t，∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，∴若DQ=DE，則S△DEQ=DEHQ=×t×t=，若DQ=QE，則S△DEQ=DEHQ=×2DHHQ=×t×t=，∵＜，∴當(dāng)DQ=QE時(shí)△DEQ的面積比DQ=DE時(shí)大．

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），則D（x，），∵Q點(diǎn)在直線CF的下方，∴DQ=t==，當(dāng)x=時(shí)，tmax=3，∴（S△DEQ）max==，即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為．