Question

已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AD、BE的中點(diǎn)．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠DOE的度數(shù)；
（3）求證：△MNC是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，證△ACD≌△BCE即可；
（2）根據(jù)全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（3）求出AM=BN，根據(jù)SAS證△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．

解答：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵等邊三角形DCE，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，
=∠ADC+60°+∠BED，
=∠CED+60°，
=60°+60°，
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°，
答：∠DOE的度數(shù)是60°．

（3）證明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AD、BE的中點(diǎn)，
∴AM=

1

2

AD，BN=

1

2

BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中

AC=BC ∠CAM=∠CBN AM=BN

，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM=CN，
∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推理，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的代表性．