Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為E、F點．
（1）當點D在BC的什么位置時，DE=DF？并證明．
（2）在滿足第一問的條件下，連接AD，此時圖中共有幾對全等三角形？并請給予寫出．
（3）過C點作AB邊上的高CG，請問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關系？并加以證明．

Answer 1

（1）當點D在BC的中點上時，DE=DF，
證明：∵D為BC中點，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）解：
有3對全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD，
∵由（1）知△BED≌△CFD，
∴DE=DF，BE=CF，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∵在△ADB和△ADC中

∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴有3對全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；
（3）CG=DE+DF
證明：連接AD，
∵S_三角形ABC=S_三角形ADB+S_三角形ADC，
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．
分析：（1）根據AAS證△BED≌△CFD，根據全等三角形的性質推出即可；
（2）求出DE=DF，AE=AF，根據SSS證出△AED≌△AFD即可，根據SSS證出△ABD≌△ACD即可；
（3）連接AD，根據三角形的面積公式求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．