Question

【題目】如圖，正方形的邊長(zhǎng)是3，，連接、交于點(diǎn)，并分別與邊、交于點(diǎn)、，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

由四邊形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可證明△DAP≌△ABQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠P=∠Q，根據(jù)余角的性質(zhì)得到AQ⊥DP；故①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AO2=ODOP，故②正確；根據(jù)△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根據(jù)△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得QE的長(zhǎng)，證明△QOE∽△POA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可判斷④正確，即可得到結(jié)論．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°．

∵BP=CQ，

∴AP=BQ．

在△DAP與△ABQ中，∵，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q．

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP；

故①正確；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2=ODOP．故②正確；

在△CQF與△BPE中，∵，

∴△CQF≌△BPE，

∴S△CQF=S△BPE．

∵△DAP≌△ABQ，

∴S△DAP=S△ABQ，

∴S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4．

∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°，

∴△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE，

∴QE，

∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°，

∴△QOE∽△POA，

∴，

∴，故④正確．

故選：D．